[E.N.D.]

Правила вычисления производных. С примерами. Как можно больше примеров.
Заранее благодарю.

[E.N.D.]

Извиняюсь, случайно две темы создал...

[Федя]

ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
(cf(x))'=cf'(x)
(u+v)'=u'+v'
(uv)'=u'v+uv'
(u/v)'=(u'v-uv'):v2
(u(v(x))'=u'(v)v'(x)


Задача 1.
Дано: у = х - 2 sin x.

Найти: точки, в которых производная равна нулю.

Решение.

Функция определена и дифференцируема на множестве всех действительных чисел, так как на множестве всех действительных чисел определены и дифференцируемы функции
g(x) = x и t(x) = - 2 sin x.

Используя правила дифференцирования, получим
f' (x) = ( x - 2 sin x )' = (x)' - ( 2 sin x )' = 1 - 2 cos x.

Если f' (x) = 0, то 1 - 2 cos x = 0.

cos x = 1/2; избавимся от иррациональности в знаменателе,

получим cos x = 2 / 2.

По формуле t = ± arccos a + 2 n, n Z, получим:

х = ± arccos 2 / 2 + 2 n, n Z.

Ответ: х = ± p / 4 + 2 n, n Z.

[E.N.D.]

Спасибо. Можешь ещё примеры выложить, плизз.

[Федя]

Производной функции y=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции в точке х0 к приращению аргумента ∆х, когда приращение аргумента стремится к нулю и обозначается f'(x0) или .

Процесс нахождения производной заданной функции называется дифференцированием этой функции.
Правило 1. Производная сумма (разности) двух функций.
Если функция u и v дифференцируема в точке x0, то их сумма (разность) дифференцируема в этой точке:
.
Иными словами: производная суммы равна сумме производных. Аналогично для разности функций.
Правило 2. Производная произведения двух функций.
Если функции u и v дифференцируемы в точке x0, то их произведение дифференцируемо в этой точке:

Следствие. Если функция u дифференцируема в x0, а С-постоянная, то функция Сu дифференцируема в этой точке:
(СU)'=CU' С=const.
Иначе говоря: постоянный множитель можно вынести за знак производной.
Пример1: Найти производную функции f(x)=((x+5)(x-8))
Решение:
f'(x)=((x+5)(x-8))'=(x+5)'(x-8)+(x-8)(x+5)'=1(x-8)+1(x+5)=2x-3


Правило 3. Производная частного двух функций.
Если функции u(x) и v(x) имеют производные во всех точках интервала (a; B) причём v(x)≠0 для любого x(a; B), то
- частный случай
Пример 2:
Найти производную функции f(x)=
f'(x)= = = =
Правило 4. Производная степенной функции.
Если функция u(x) дифференцирована в точке x, то при любом целом значении n, функция un(x) также дифференцирована в точке x.

частный случай: (x1)'=1; (x0)'=0, (x2)'=2x
Пример 3: Найти производную функции f(x)=
f'(x)=( )'=3(x7)'-5(x-3)=3*7x6-5(-3)x-4 =21x6 +
Правило 5. Производная сложной функции.
Если функция f имеет производную в точке yo=f(xo), то сложная функция h(x)=g(f(x)) также имеет производную в точке xo,
h'(xo)=g'(f(xo))f'(xo)
Пример 4. Найти производную функции h(x)=
Решение: так как h(x)=g(f(x)), где y=f(x)=3x2+1, g(y)= , где g'(y)= и y'=f'(x)=6x, откуда h'(x)= y'= =


Правило 6. Производная синуса.
Синус есть функция y=sin x , xR, дифференцируемая в каждой точке числовой прямой, и её производная вычисляется по формуле:
(sin x)'=cos x
Пример 5. Найти приводную функции f'(x)=(sin32x)'=3sin22x(sin2x)'=3sin22x cos2x(2x)'=6sin22x cos2x
Правило 7. Производная косинуса.
Косинус есть функция y=cos x, где xR, дифференцируемая в каждой точке числовой прямой, и её производная вычисляется по формуле:
(cos x)'=-sin x
Пример 6. Найти производную функции y=cos23x
Решение: y'=(cos23x)'=2cos 3x(cos 3x)'=2cos 3x(-3sin x)(3x)'=-3sin 6x
Правило 8. Производная тангенса.
Тангенс есть функция y=tg x, xR, x≠ , дифференцируемая в своей области определения, и её производная вычисляется по формуле:
(tg x)'=
Пример 7. Найти производную функции y=(tg2(3x2+x))
Решение: y'=(tg2(3x2+x))'=2tg(3x2+x)(tg(3x2+x))'=2tg(3x2+x) =
=2(6x+1)
Правило 9. Производная котангенса.
Котангенс есть функция y=ctg x, xR, x≠n, дифференцируемая в своей области определения, и её производная вычисляется по формуле:
(ctg x)'=-

Пример 8. Найти производную функции y=(ctg5x2)
Решение: y'=(ctg5x2)'=5ctg4x2(ctg x2) = 5ctg4x2
Правило 10. Производная показательной функции.
Показательная функция у=ех, хR, имеет производную в каждой точке числовой прямой, и ее производная вычисляется по формуле:
(ех)'=ex
Следствие.
Показательная функция у=ах, хR где а>0, а1, дифференцируема на каждой точке числовой прямой, и ее производная вычисляется по формуле:
(ах)'=аx ln a
Пример 9. Найти производную функции
Решение:
=2x ln(2x+1)+(x2+3) =
2x ln (2х+1)+
Правило 12. Производная арксинуса.
Арксинус есть функция у=arcsin x, x[-1;1], дифференцируемая в каждой точке интервала (-1;1), и ее производная вычисляется по формуле:
(arcsin x)'=
Пример 11. Найти производную функции у=х3arcsin x
Решение: y'=(x3arcsin x)'=(x3)'arcsin x + (arcsin x)'x3=
=3x2arcsin x+
Правило 13. Производная арккосинуса.
Арккосинус есть функция у=arccos x, x[-1;1] дифференцируема в каждой точке интервала (-1; 1) и ее производная вычисляется по формуле:
(arccos x)'=-
Пример 12. Найти производную функции y=(arccos x)3
Решение: y'=((arccos x)3)'= 3(arccos x)2(arccos)'= .
Правило 14. Производная арктангенса и арккотангенса.
Арктангенс есть функция y=arctg x, xR, арккотангенс функция y=arсctg x, xR, дифференцируемые в каждой точке числовой прямой, имеющие следующие производные соответственно:

Пример 13. Найти производную функции y=arctg(x2-3)
Решение: y'=(arctg(x2-3))'= (x2-3)'= .
Пример 14. Найти производную функции y=arctg
Решение: y'=(arctg )'=-

Библиография:
1) Колмогоров А.И. Алгебра и начала анализа. – М., Просвещение, 1990.
2) Яковлев Г.И. Алгебра и начала анализа. – М., Наука, 1987г.
3) Архипов Г.И. Лекции по математическому анализу. – М. Высшая школа, 1999г.
4) Высшая математика для экономистов. Ред и.Ш. Кремер. – М., ЮНИТИ, 1997г.

[MIX]

Запаришся учить такое.........

[UFO]

не боись, тебе тоже скоро предстоит )
и не так сложно на самом деле...