Отправлено 18 Июнь 2006 - 02:15
ВТОРАЯ ДИСТАНЦИОННАЯ КОНСУЛЬТАЦИЯ
Консультация посвящена теме « Арифметические основы ЭВМ »
В рамках консультации кратко рассмотрим необходимый теоретический материал, более подробно см. [ 7 . Глава 1]
Позиционные системы счисления.
Системы счисления, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число, называются позиционными.
Для позиционных систем счисления характерным и определяющим является наличие основания системы, которое показывает, во-первых, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее на соседнюю позицию (влево или вправо) и, во-вторых, какое количество различных цифр входит в ограниченный набор, называемый алфавитом системы, используемый для записи любого числа.
Итак, под алфавитом позиционной системы счисления понимают совокупность различных цифр (символов), используемых для записи чисел.
Для записи чисел в конкретной системе счисления используется некоторый конечный алфавит, состоящий из цифр - символов.
При этом основанием традиционной системы счисления может быть любое натуральное число . Наименование системы счисления соответствует ее основанию. Количество цифр, используемых в р -ичных системах счислениях для записи алфавита равно основанию системы счисления.
Например, алфавит двоичной системы счисления состоит из двух цифр 0 и 1. Алфавит двенадцатеричной системы счисления состоит из 12 цифр-символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A , B . Традиционных цифр-символов для записи алфавита этой системы счисления оказалось недостаточно, поэтому были введены буквы.
Любое число N в позиционной системе счисления можно представить суммой произведений целых однозначных коэффициентов , взятых из алфавита системы на последовательные целые степени основания :
,
где m — количество цифр в целой части числа, а n – количество цифр в дробной части числа.
Степенной ряд для целой и дробной частей числа можно представить эквивалентными выражениями по схеме Горнера:
для целой части: ;
для дробной части
Перевод целых и действительных чисел из одной системы счисления в другую.
Перевод из 10-ной системы счисления в р -ную.
Для перевода чисел из одной системы счисления в другую существуют различные способы.
Рассмотрим один из них.
Пусть целое десятичное число равно 13. Чтобы перевести его в двоичную систему счисления необходимо проделать следующие арифметические операции:
13 2
12 6 2
1 0 3 2
1 1
Младший разряд Старший разряд
Число 13 делим на 2, полученный остаток будет младшим разрядом искомого двоичного числа.
Каждое очередное частное делится на 2 до тех пор, пока частное от деления не станет равным 0. Последнее частное является старшим разрядом двоичного числа.
Запишем полученное последнее частное и все остатки по порядку справа—налево — 1101 , это и есть число 13 в двоичной системе счисления, 13 10 =1101 2 .
Сущность вычислений заключается в многократном делении целых чисел на 2.
Перевод из дробного десятичного числа в двоичную форму .
Для этого мы должны проделать арифметическую операцию умножения до первого полученного нуля в дробной части, либо до определенного количества значащих цифр.
Поясним на примерах.
1. переведем число 0,5 (десятичное) в двоичную систему счисления. Для наглядности будем приводить умножение «столбиком».
0 5
2
1 0
Мы получили в дробной части 0. Действие умножения прекращается.
0,5 10 =0,1 2
2. 0,75 10 переводим в двоичную систему счисления.
0 75
2
1 50
2
1 0
Умножается только дробная часть — получили 0 в дробной части. Действие умножения прекращается.
0,75 10 =0,11 2
Выписываем разряды «сверху—вниз».
3. 0,3310 переводим в двоичную систему.
0 33
2
0 66
2
1 32
2
1 64
2
1 28
2
1 56
2
1 12
2
0 24
2
0 48
2
0 96
2
1 92
...
Итак, мы видим, что процесс умножения может идти бесконечно. Но ноль в дробной части мы не получим. В таких случаях оговаривается, сколько двоичных разрядов мы будем брать.
0,3310=0,011100012
4. Перевести 10,25 10 в двоичную систему счисления.
0, 25
2
0 50
2
1 0
10 2
0 5 2
0 1 2 2
0 1
10,2510 =1010,012 .
Перевод чисел из p -ой системы счисления в десятичную.
Чтобы перевести число из p -ой системы счисления в десятичную, необходимо разложить число по степеням основания или воспользоваться схемой Горнера.
Запишем двоичное число в виде полинома слагаемых по степеням основания 2 в соответствии с разрядами:
10102 =1 • 2 3 +0 • 22 +1 • 21 +0 • 20 =10 10
0,012 =0 • 2 -1 +1 • 2 -2 =0,25 10 .
Восьмеричная система счисления.
В восьмеричной системе счисления для представления числа используются цифры от 0 до 7. Правила перевода естественно остаются прежними.
ПРИМЕР 1. 21,25 10 переведем в восьмеричную систему счисления.
21 10 =25 8
0,25 10 =0,2 8
21,25 10 =25,2 8
21 8
16 2
5
0 25
8
2 00
ПРИМЕР 2. Перевести из восьмеричной системы счисления в десятичную следующие числа:
-13.4 8 ; 27.51 8 ; 14.2 8 ; 127.03 8
Выполним перевод для первого числа:
-13.4 8 = -(13 8 +0.4 8 )
-13.4 8 = -11.5 10 .
Остальные примеры решите самостоятельно.
Шестнадцатеричная система счисления.
В шестнадцатеричной системе счисления для записи любого числа необходимо 16 цифр, мы же имеем только 10 цифр, для изображения недостающих цифр используются заглавные буквы латинского алфавита.
Алфавит шестнадцатеричной системы счисления:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
ПРИМЕР .
Перевести десятичное число 142,25 в шестнадцатеричную систему счисления.
142 10 =8E 8
0,25 10 =0,4 16
142,25 10 =8E,4 16
142 16
128 8
14
(E)
0, 25
16
4 00
Проверим результаты, переведя полученное число в десятичную систему счисления:
8Е,4 16 = 8 • 16 1 +Е • 16 0 +4 • 16 -1 = 128+14 • 160+0,25 = 142,25.
Двоично-восьмеричная система счисления.
Запишем некоторое число в двоичной системе счисления:
1001101.1011 2
Для того, чтобы представить исходное число в восьмеричной системе счисления разобьем его на триады. Целую часть от десятичной точки влево, добавляя впереди стоящие нули, если не хватает цифр, и дробную часть вправо от десятичной точки, добавляя сзади стоящие нули, если не хватает разряда.
00 1 001 101.101 1 00 = 115.54 8
Каждая двоичная триада заменяется восьмеричным числом.
Двоично-шестнадцатеричная система счисления.
Запишем некоторое число в двоичной системе счисления:
1001101.1011 2
Для того, чтобы представить исходное число в шестнадцатеричной системе счисления разобьем его на тетрады. Целую часть от десятичной точки влево, добавляя впереди стоящие нули, если не хватает цифр, и дробную часть вправо от десятичной точки, добавляя сзади стоящие нули, если не хватает разряда.
0 100 1101.1011 = 4D.B
Каждая двоичная триада заменяется соответствующим шестнадцатеричным числом.
Обратный перевод предлагаем выполнить самостоятельно.
С компьютерной арифметикой подробно можно познакомиться в [ 9 . Глава 4].
Рассмотрим несколько задач.
ЗАДАЧА 1. Десятичное число перевели в системы счисления с основанием X и Y . При этом известно, что 56 X = 63 Y . Определить данное число и основания систем счисления Х и Y .
РЕШЕНИЕ:
Разложим число в системе счисления X и Y по степеням основания:
5 X + 6 = 6 Y + 3,
X > 6 и Y > 6, так как старшая цифра в изображении числа равна 6.
X > Y .
Пусть Y = 7, тогда 5 X = 39, X не целое число.
Пусть Y = 8, тогда 5 X = 45, X =9 – подходит.
Число = 5*9 + 6 = 51.
ЗАДАЧА 2. Вычислите значение выражения 1010 10 +(106 16 -11011101 2 )*12 8 .
Ответ представить в 16-ой системе счисления.
РЕШЕНИЕ :
Переведем все числа в 16-ую систему счисления:
1010 10 = 3*16 2 +242=3*16 2 +15*16 1 +2*160 = 3F216
11011101 2 = 1101 1101 2 = DD16
12 8 = 1 0102 = A16
Выполним действия
10616 - DD16 = 29 16
2916 * A = 19A16
3F216 +19A 16 = 58C 16
ОТВЕТ : 58С16 .
ЗАДАЧА 3. Перевести дробь в 4-ую систему счисления.
РЕШЕНИЕ:
Согласно алгоритму перевода дробной части
ОТВЕТ :
Желаем успеха в подготовке к вступительному испытанию!
Просвисчайся плин
Помощь
